Posiblemente era hermano mayor de Giovanni Battista Draghi. La primera información biográfica acerca de él se remonta a 1645, cuando a la edad de once años entró como niño soprano en la capilla de la Basílica de San Antonio de Padua con su tío Francesco Florido (que fue contratado como organista y ejecutante de instrumentos de cuerda). Allí recibió indudablemente su completa formación musical. En la misma capilla Draghi se cambió a un puesto de contralto en agosto de 1648 y posteriormente cantó como bajo desde octubre de 1649 a diciembre 1651.

Edición discográfica del Sepolchre "La vita nella morte" de Antonio Draghi

El año siguiente fue a Ferrara a la Accademia della Morte siempre como cantante; la cooperación con esta institución de Ferrara terminó en octubre de 1657. Durante este período, fue ocupado en otros lugares, como por ejemplo en Venecia durante el carnaval de 1657, cuando cantó en el Teatro San Apollinare en la ópera “Le fortune di Rodope e di Damira” de Pietro Andrea Ziani.

En 1658 comenzó su larga carrera en la corte imperial de Viena en la capilla de la emperatriz viuda Eleonora. Al principio fue utilizado como vocalista bajo, y luego comenzó la labor de libretista: su primer libreto fue “L’Almonte”, musicalizado por Giuseppe Tricarico y puesto en escena el 9 de junio de 1661 en Viena. Siguió escribiendo libretos durante varios años, para compositores como Antonio Bertali y Pietro Andrea Ziani. Debutó como compositor de ópera en 1666 con “La Mascherata”. Durante los años fue avanzando progresivamente hacia los más altos cargos musicales de la corte de los Habsburgo: en 1668 la emperatriz Eleonora le nombró vice-Kapellmeister  y en 1669 asumió el cargo de Kapellmeister de la corte de la emperatriz, en reemplazo de Giovanni Legrenzi. El emperador José I lo designó en 1673 director imperial de la ópera (Intendente de Musiche Teatrali di S.C.M). Durante este período, compuso mucho para la corte del emperador (Leopoldo I mismo lo abastecía de airs y escenas aisladas).

En 1680 murió Johann Heinrich Schmelzer y el 1 de enero de 1682 Draghi lo sucedió en el puesto de Kapellmeister de la corte imperial, cargo que ocupó hasta su muerte. Su contribución al desarrollo de la ópera italiana fue particularmente significativa. Compositor de una fecundidad prodigiosa, Draghi colaboró con Minato y Burnacini para 124 óperas (con coloraturas virtuosas), 41 obras dramáticas sacras, oratorios y sepolcri, y de innumerables obras de circunstancia.